线性方程组求解-云顶国际集团

1.使用初等行变换来确定矩阵的秩a＝218372-307-53-258010320r12r4，r22r4、r33r4～012-1703-63-502-4201030r3/（-2），r1r3，r2 3r3～000010002000r1/7，r2 5r1。2.交换行顺序~10320012-100000010000，000了000。...

2023-05-31 线性方程组的解的三种情况 线性方程组求解

图书名称：《搜索求解与编程》【作者】唐瑞圭，韩靖编著【页数】168【出版社】广州：中山大学出版社,1993.10【isbn号】7-306-00782-3【价格】$7.00【分类】搜索-运算方法运算方法-搜索【参考文献】唐瑞圭，韩靖编著.搜索求解与编程.广州：中山大学出版社,1993.10.图书目录：《搜索求解与编程》内容提要：《搜索求解与编程》内容试读第一章状态空间问题求解第一节状态空间问题求解概念状态空间问题求解是采用试探搜索的方法，在某一可能的解答空间中寻找一个解来解答一个问题的。到底何谓解答空间，搜索方法求解又是什么回事，我们不妨从一实际问题出发来说明它。八位数码难题是由八个编有数码】至8并放在3×3的方格棋盘上的可走动的棋子组成，棋盘总有一格是空的。以便可以让周围的棋子走进空格，也可以说是移动空格，八位数码难题如（图1.1）所示，图中给出的两种棋局，即初始棋局和目标棋局。初始棋局目标棋局图1.1如何把初始棋局变成目标棋局呢？最直接的求解方法是尝试各种不同的走步，如“下移棋子8，右移棋子2，上移棋子1，…”等等，直到偶然得到该目标棋局为止。这种尝试在本质上涉及某种试探搜索，从初始棋局开始，我们要计算机由每一合适走步得到各种新棋局，然后计算机再走下一步，又得到下一组棋局，这样继续进行下去，直至找到目标棋局为止。我们把这种在搜索尝试过程中产生的所有棋局的集合看成是这一问题求解的状态空间，最后得出的一条由初始状态到目标状态的走步序列便是搜索求解的具体实现要计算机实现状态空间求解，首先要解决的是有一计算机能接受的每一状态的表示和从一种状态变成另一状态的重写规则（也可说是产生新状态的途径）。实际上任何类型的数据结构都可用来描述各类问题的状态，其中包括符号、字符串、向量、二维数组、树和表格等。但是我们在解答某一具体问题时应注意所选的数据结构的形式与解决的问题在某些自然特征上要具有相似性，同时还必须注意所选择的这种状态描述具有方便的算法去重写它（即有方便的产生新状态的途径）。对于8数码难题采用3×3阵列表示是自然的，而棋子的正当走步（即改写途径）可以有32条，即左移棋子1，右移棋子1，上移棋子1,下移棋子1，左移棋子2…等。但我们立即可以发现，用左移空格，右移空格，上移空格，下移空格四条改写途径就完全可以代替上述32条途径。而后者的描述和操作要比前者简单得多，也将大大缩小搜索的状态空间，故我们应尽可能用经济的方法描述问题状态和走步规则。它是高效率解决问题的需要。。1✉图1.2是八数码难题的四条改写途径的图示。2831465左移空格右移空格上移空格下移空格28382323281148167657657:67图1.2128311765345283232832831418414■16476576576575678910212138328323232828328328321m71418418m14314516416476565765765765767575141516171819203832831232342828328328321m71m84181431456416765657657657657617575122232252683813283283123需61m76561565765目标节点图1.3在图1.2图中我们可以把每一棋局看成一个节点，把从一棋局遵照所有可能的改写途径得出一组棋局的过程，称作扩展节点过程。最上方的一个节点称为下面4个节点的父节点，而下面4个节点又称为是上面一个节点的子节点（或称后继节点）。遵照这四条·2。改写途径，我们可将图1.1中初始棋局变换成目标棋局的一种搜索过程用图1.3表示出来，图1.3是一种树结构，初始节点为树根，它的深度为0，其它节点的深度等于其父节点的深度加1，也即第2行的节点深度为1，第3行节点深度为2…。其中每一节点左上方的数字是搜索过程中产生该节点的序号，同时也是用来扩展节点的顺序。按这种搜索方法从初始节点到目标节点遵照我们规定的走步原则共产生了26个棋局，也就是说这一问题求解的整个状态空间由26个节点组成，而粗线连接的一条走步序列就是一条解答路径。第二节状态空间搜索要点1.起始节点，对应于初始状态的描述。2.扩展子节点，即用适合问题求解的改写途径扩展新节点。3.为子节点设定指针，即记录其父辈节点的标号，以便找到目标节点时，沿指针能找出一条回到起始节点的途径。4.检查各子节点是否为目标节点，如果还没有找到目标节点则又转回2，继续进行扩展子节点和设定指针的工作：当找到目标节点时，沿着有关指针从目标节点回湖！起始节点，打印这条解答路径。从上面八数码难题例子，我们可能已经发现了一个问题，在我们扩展的所有节点中，没有两个状态是完全相同的，也就是说，在一般搜索过程中，我们把凡产生的节点状态与以前产生的某节点状态相同的节点都删掉，这就避免了搜索过程在原地兜图子的现象。上述要点只是对状态空间搜索的一种简单描述，而当我们实际做某一具体搜索过程时，都会遇到被扩展节点的次序问题。我们可以根据被扩展节点的不同次序，分成宽度优先、深度优先、等代价和a*算法几种不同的搜索方法。l(mf(f(a)(】宽度优先搜索节点扩展次序深度优先搜索节点扩展次序图1.4如搜索是以接近起始节点的程度依次扩展节点的，就叫宽度优先搜索法。如图1.4()所示。图1.3所示八位数码难题搜索方法也就是用宽度优先搜索法进行的，在对下一层任一节点进行搜索之前，必须搜索完本层所有节点。如果搜索是首先扩展最新产生的节点，则称这种搜索为深度优先搜索，如图1.4()·3所示。对于深度优先搜索，除非搜索失败（即不存在任何子节点，有时是指达到约定的最大深度还未找到目标节点)，而需要退出来去搜索其它原来被暂时忽略的节点外，否则每层只对一个节点进行扩展。上述两种搜索方法都属盲目或称无信息搜索过程。对于许多任务来说，有可能存在某些经验法则或原则来简化搜索。我们可以把这种经验法则称作一种启发信息，利用这些信息往往能首先扩展最有希望的节点，从而把搜索较快地推向目标。这正是a·算法在搜索过程中最突出的长处，它往往能使搜索过程的时间和状态空间大大缩小，对于那些因内存容量限制而难于解答的问题，采用带启发信息的a·算法往往容易获得满意的解答。还有一种搜索要求求解具有最小代价的特定解，对于这类问题，节点之间的连线具有一定的代价，从起始节点到每一节点都有一路径代价，我们用cot()表示，如果我们在搜索过程中，节点的扩展顺序按cot值的递增顺序扩展的。我们称此为等代价搜索（旧称等费用搜索)。它也是一种无信息搜索。下面就各种搜索方法加以叙述。第二章状态空间问题求解常用算法及例解本章讲述状态空间中的各种搜索的算法和程序实现模式，并附实例说明。第一节宽度优先搜索一、定义与算法在这种搜索过程中，树上的节点扩展是沿着深度的“断层”进行的，比如要对深度为的任一节点进行搜索扩展之前，深度为3的所有节点必须全部被搜索出来。所以这种搜索方法一定能保证找到最短（步数最少）的解答序列。在不少题中要求找到经历步骤最少而达到目标的方案时，多采用此种搜索方法。宽度优先搜索的算法：l.把初始节点放入待扩展节点的o表中，此表开始只有起始节点，其结构为队结构，即先进先处理。2.如果oe表空，（即待扩展节点已全部扩展完毕），失败退出。3.把o表中队列前的节点取出，按合适的途径扩展全部子节点，并把新生的子节点依次加入o表的后面，同时提供这些子节点返回父节点的指针，若无子节点，则返回2。4.如果有任一子节点为目标节点，则找到一个解，打印路径退出。否则转2继续。二、宽度优先搜索的程序实现如何用程序实现宽度优先搜索法呢？下面介绍其具体的程序实现算法。为方便描述和阅读，本书对所有程序和算法描述中统一规定各变量的意义（有改变时再另行说明）。算法描述中各变量意义tate(x):表示节点x的状态。tate(1)表示初始状态。oject:表示作扩展的节点。to:表示由节点oject扩展的子节点。也是栈顶指针或队尾指针。father(x):表示节点x的父节点标号。也称父指针。way(x):表示扩展子节点的途径的第x种途径。waymax:表示所有可能扩展子节点的途径的总数目。wayum:表示所选途径编号。ext(x):链指针，用于表示按代价从小到大排序中节点的先后次序。m(i,j):表示从i节点到j节点的实际代价。cot(x):表示从初始节点到节点x的总代价。·5gue(x):表示节点x到目标节点的估计代价。也称启发函数的值guecot(x):表示从初始节点到节点x的总代价加上节点x到目标节点的估价函数作有：guecot(x)=cot(x) gue(x)例题程序中对上述变量进行了简化。算法中pacal程序中pc-basic和truebasic中tate(x）tate(x)s(x)ojectojectptototfather(x)father(x)f(x)way(x)w(x)w(x)wayumwaywwaymaxwaymaxmext(x)ext(x)n(x)cot(x)cot(x)c(x)guecot(x)gcot(x)g(x)注意：下文算法中的1,2,3,4与流程图及程序实现模式中的1,2,3,4对应，与例题程序注释中的art1,art2,art3,art4对应。另外在例题程序中pacal程序中的数据文件可参考baic程序中的data语句。宽度搜索程序实现算法1.把初始状态赋值到队头tate(1)中，并初始化指针，1→oject,.1→to。2.分别用waymax种途径扩展oject的子节点。①从途径l开始扩展新节点，l→wayum。②判断途径wayum可行吗？（即可否扩展新节点），若不可行转2一⑤。③按途径wayum改写tate(oject)得到新节点状态，对新节点设父指针，新状态入队。to l→to,oject--→father(to),新状态→tate(to)。④tate(to)是目标状态吗？是则调用打印结果子程序rit打印路径。若只要求一个方案则结束，否则to一1→to。⑤wayum l→wayum(选择下一途径再扩展)，若wayum≤waymax,则转2-②。3.选择用来扩展的新节点。取队列首节点用来扩展节点，即oject- l→oject,若ojectgtto(即oe表已空)则结束，否则转2。·仿···试读结束···...

2022-10-17

图书名称：《基于符号计算的非线性系统求解方法与技巧》【作者】申亚丽作【页数】160【出版社】北京：新华出版社,2021.08【isbn号】978-7-5166-5536-8【价格】56.00【参考文献】申亚丽作.基于符号计算的非线性系统求解方法与技巧.北京：新华出版社,2021.08.图书封面：求解方法与技巧》内容提要：随着科学技术的不断发展，非线性在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要。非线性偏微分方程作为非线性系统中非常重要的数学模型，它在数学、物理学、生物及大气海洋学的许多领域都有非常重要的应用。现实世界对非线性的理解和分析大多可归结为对非线性微分方程（组）的求解，然而求解非线性微分方程远比求解线性微分方程要困难的多，一般很难用一个统一的方法来处理，本书将以非线性可积系统作为研究对象，以符号计算系统male为主要工具，从新的观点出发，对非线性系统求解方法进行深入的研究，为读者提供一些求解非线性系统特别是高维非线性系统的有效方法，同时展示一批有趣的新结果。本书主要在孤子理论经典方法的基础上，以目前广泛关注的非线性可积系统为例，扩展原有方法或构建新方法，重点演示了非线性波包括孤子、呼吸子、团块波和怪波的有效求解算法。本书写作中力求全面与详细，尽可能展示多种求解非线性系统的有效方法，对于非线性偏微分程的初学者、研究生及从事非线性科学的科技工作者具有重要的参考价值。《基于符号计算的非线性系统求解方法与技巧》内容试读第1章绪论第1章绪论1.1研究背景与研究意义非线性科学贯穿于数学、生物、物理、大气海洋学等众多学科领域，是研究各种非线性现象共同规律的学科，也是20世纪继量子力学和相对论后自然科学界的又一重大发现。随着科学技术的发展，人们认识到非线性模型能更准确地描述自然界中的非线性现象。相对于线性现象，非线性现象的性质更为复杂和难以捉摸。为了理解各种非线性问题的物理机能，越来越多的数学家和理论物理学家从不同角度对非线性系统进行研究，相关研究成果不断涌现，新的研究方法更是层出不穷。从数学物理的角度来看，现实世界对非线性的理解和分析大多可归结为对非线性微分方程（组）的求解，然而求解非线性微分方程远比求解线性微分方程要困难很多。近年来，已经发展了一系列求解非线性系统行之有效的方法，如反散射变换方法(iverescatterigtraformatio)入hirota双线性方法、贝克隆变换方法(backludtraformatio)、达布变换方法(darouxtraformatio)、广义分离变量法、齐次平衡法、paileve截断展开方法、（号）展开法、jacoi椭圆函数展开法、双曲函数扩展方法等19。这些方法各有所长，在求解非线性系统时都具有独到的优点。然而值得指出的是，在这些方法中并没有一种万能的方法可以求尽非线性系统中所有类型的解，而且对于某一个非线性系统而言，上述方法不一定都适用，特别是一些高维的非线性系统，求解将变得更加困难。因此，选择适当的方法是求解非线性系统的基础，扩展原有方法或构建新方法对于非线性系统的研究具有重要现实意义。许多非线性偏微分方程与kac-moody代数、微分几何、代数几何、动力系统、sato理论等有着内在深刻的联系，由此产生许多美妙的代数与几何性质。经验表明，人们已经获得的许多求解方法中很多方法都是构造性和代数化的，但这些方法所涉及的运算及推理往往非常复杂0。随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，符号运算软件如male或mathematica等应运而生，借助符号计算软件并运用一系列数学技巧去挖掘非线性方程中蕴含的一系列重要性质，可大大简化计算的工作量，解决人力难以完成的工作，进而揭示其非线性现象的本质。特别是近年来在非线性波的传播行为研究中，对怪波、爆破波、尖峰波、台风等突变波性质的研究，为海岸沿线居民的生活生产安全、航海安全、灾害性天气的预防提供决策依据和手段。因此，掌握非线性系统的求解方法及其动力学性质可为如上自然现象的研究提供广泛的理论支撑和应用研究依据。基于符号计算的非线性系统求解方法与技巧1.2非线性系统研究概述在非线性科学中，孤立子理论与可积系统在自然科学的各个领域起着非常重要的作用。其中孤立子理论不仅促进了传统数学的发展，同时具有广阔的应用前景。孤立子理论研究的重要内容之一，就是寻找非线性演化方程的精确解。所谓非线性演化方程就是随时间演变的非线性模型，也称其为非线性发展方程。许多研究人员建立了众多非线性系统模型，并通过一些数学手段对这些模型进行分析与求解，以此更好地理解自然界中非线性现象的物理机制。孤立子、混沌和分形是自然界中最重要的三种非线性现象，其中孤立子反映了一种稳定的自然现象，孤立子现象始于1834年苏格兰一位造船工程师ruelj.s.一次偶然的发现叫。之后，科学家aiyg.b.等都对此现象做了大量的实验和研究。1895年，kortewegd.i和devrieg.提出了著名的浅水波方程，即kdv方程l2,并确定了孤立波的存在性，该发现对孤立子理论的产生起了重要推动作用。1965年，美国应用数学家krukal和bell实验室的zauky用数值模拟的方法考察和分析了等离子体中孤立波的非线性相互作用过程，证明了两个孤波发生碰撞之后，各自保持原来的速度和波形继续传播，“孤立子”概念就此确立，成为孤立子理论发展的里程碑。现如今孤立子理论已经在物理、化学、数学、生物学、通信等各个自然领域得到广泛应用。社会经济系统中也广泛存在着非线性相互作用，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社会意识的长时间稳定传播等。由非线性机制产生的孤立子，无论其现象还是本质，都能启发我们更好地理解某些社会经济现象。可积系统领域两个最经典的非线性模型一非线性schrodiger(nls)方程和korteweg-devrie(kdv)方程已经得到充分研究，它们在物理领域有许多重要应用，如nls方程应用于非线性光学、等离子体和玻色-爱因斯坦凝聚等13-1领域。由于孤子自身的稳定性，它已被成功应用于磁性材料、非线性光学和光纤通讯中，因此孤子或孤波是非线性系统最主要的动力学属性。通过众多研究学者的不断努力，在物理学各个领域发现了大批具有孤子解的非线性系统，其中包括sie-gordo方程、等离子体中的nls方程、二维流体流动的kp方程、振子运动的toda链及hirota方程等。近年来在非线性波的传播行为研究中，团块波(1um入、呼吸子、怪波、爆破波尖峰波等引起了许多研究者的广泛关注。很多经典的非线性系统重新燃起了众多学者的研究热情，诸如kpi方程16-18、ihimorii方程g、davey-stewartoⅱ方程2o,21、bkp方程22,2、otetial-.ytsf方程24、维数约化的-gkp和-gbkp方程2阿]等，在这些方程中均获得了1um解6-18,2023,26。怪波一直被认为是海洋传说中的深海怪兽，许多海上灾难均由它引起，为了揭示这种怪波的存在机制，越来越多的研究者投身于该研究。2007年，sollid.r.等人在nature期刊上发表研究成果，率先在非线性光学中通过实验观察到光学怪波27.2010年，akiewiza.,akhmedievn.等人利用修正的达布变换(darouxtraformatio)得到了hirota方2···试读结束···...

2022-05-04