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图书名称：《三维设计 高三数学》

【作　者】雷启清主编

【页 数】 340

【出版社】 北京：光明日报出版社 , 2005.11

【isbn号】7-80206-160-1

【价 格】218.00（本辑）

【分 类】数学课-高中-教学参考资料

【参考文献】 雷启清主编. 三维设计 高三数学. 北京：光明日报出版社, 2005.11.

图书目录：

《三维设计 高三数学》内容提要：

《三维设计 高三数学》内容试读

三维设计高三·数学

第一章集合与简易逻辑

第一章

集合与简易逻辑

章省备考号读

本章知识结构

命题预测

知识的覆盖率及考查重点：

列举法

全章知识按2005年考纲要求共含知识点2个，2005年

集合表示法

描述法

全国各地的数学高考试题分别考查其中的不同知识点，共考

图示法

查了其中的7个，知识点覆盖率为87%，其中重点考查的有集合的交集、补集和并集，还有充分条件和必要条件

包含

子集与真子集

总结近几年的高考，有以下规律特点：

集合的关系

相等

从题型上看，此部分知识的考查多为选择题和填空题，

集合

解答题中出现较少，从题目难度上看，主要为中档次以下题

交集

目，主要考查的是本章的基础知识和基本方法，因此说此章

→集合的运算

并集

考查和往年一样，重点考查基础知识和基本方法，集合作为

补集

老教材知识，考查机率下降，简易逻辑考查机率增加

对2007年命题的预测：

简单命题

2007年对本章知识的考查不会发生太大的变化，仍将

充要

简易

逻辑联结词

四种命题及其关系

会重点考查本章的基础知识和基本方法，也就是说本章知识

逻辑

条件

复合命题

考查仍会保持平衡.重点仍在子集、交集、并集、充要条件和简易逻辑上

互逆

互为逆

系

否关系

复习备考策略

根据对本章近年试题的分析及最近儿年命题立意的发

07'高考有约

展变化，宜运用以下应试对策：

1.在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本章的基

考纲点击

本知识点、基本数学思想和基本数学方法，重点掌握集合、简

1.集合

易逻辑的概念和运算方法.要真正掌握数形结合思想一用

(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念

维恩图解题，

(2)了解空集和全集的意义.

2.涉及本章知识点的高考题，综合性大题不多，所以在

(3)了解属于、包含、相等关系的意义：

复习中不宜做过高过多的要求，只要灵活掌握小型综合题型

(4)掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些

(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方

简单的集合，

程等：充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等)就可以了

2.简易逻辑

3,重视数学思想方法的复习

(1)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

本章体现的主要数学思想有数形结合思想、逻辑划分思

(2)理解四种命题及其相互关系.

想、函数方程思想、等价转化思想，而且图示法、反证法等数

(3)掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义

学方法在本章也得到了广泛应用

§1.14集合的概念和计算

2,集合的表示方法有

者点内容精讲

(1)列举法：(2)描述法：(3)图示法.得)

3.常用集合

城理提格知识要点

(1)空集：：(2)正整数集：n,(或n),(3)自然数集：n

1,集合中元素的三大特性

(4)整数集：z:(5)有理数集：q;(6)实数集：r;(7)区间：设a,b

(1)确定性：(2)无序性：(3)互异性.

∈r且a

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

数学名言（一）■few,but ripe,.一gauss口宁可少些，但要好些.高斯

give me a place to stand on and i will move the earth.-archimedes☐给我一个立足点，我就可以移动这个地球」

问基米德

god eternally geometrizes.--plato口上帝永运在进行几何化

柏拉图

创新方案科学备考2系

三维设计·成就梦想

b}:③[a,b)={xa≤x

4.集合的分类

有限集、无限集、空集

经亮婴物

5.子集，真子集，交集、并集和补集的有关概念

(1)a二b曰若x∈a,则x∈b:

@例d已知全集u=r,m={xy=√-i),p={xy

(2)a年bacb且a≠b:

=logx,y∈m),下列各式中正确的是

()

(3)a∩b={xx∈a且x∈b}:

a.m∩p=p

(4)aub={xx∈a或x∈b}:

b.mu(cp)=m

(5)cua=(xx∈u且xea).

c.(cum)up={x|x≤1

6,运算性质及常见的重要结论

(1)若a二b,且b二c,则a二c事

d(gumn(tp)=ux<0政号<

(2)an ca-auca-u c(ca)=a

(授之以渔，开启思维之门！)

(3)a0a=a a0-anb-b0a

【分析】本题是一道半开放题，理清m和p之间的关系是

(4)aua-a auo-a aub-bua

关键.

(5)a∩(buc)-(anb)u(a∩c)

au(b∩c=(aub)∩(auc)

演度谷承

(6)c(anb)=cuaucub

cu(aub)=cua∩cub

(7)a门b=a曰a二baub=abca:

(8)若a、b为有限集，则号

①集合a子集的个数为2“

2card(aub)=carda cardb-card(anb).

例2四设由实数a2一a十1,3、a、-1为对象组成的集合

教材回顾检测

为m,且m中仅含有3个元素，则这样的不同实数a共有

氛付依基林，深化围

a.1个

b.2个

1.(教材p,练习第2题的改编)下列8个关系式：

c.3个

d.4个

①a∈{a,b,c

②a￥{a,b,c}

(授之以迪，开启思维之门！)

③{a∈{a,b,c

④{a}{a,b,c

⑤0∈(a,b,c}

【分析】依题意，四个数中有且仅有两个是相等的，究竟

⑥0{a,b,c}

那两个是相等的，必须通过讨论来确定，

⑦{a,b}c(b,a

80∈0

其中正确的个数是合善

a.8

b.7

c.6

d.4

2.(教材p。参考例题例1(2)题的改编)已知集合m={xx6m∈z,n={xx=”=1

e).p

2

1

,p∈，则m,n、p满足的关系是

a.m=nsp

b.msn=p

c.mnsp

d.msp-m

例3已知集合a={x|x 1

3.(教材p,练习第3题的改编)设全集u=(x,y)x,y∈r),

-8)(x2 2x十4)<0)，求分别满足下列条件的m的取值范围.

a1 .b1

(1)a=b;(2)a∩b=0.

cu(caub)等于·

(解题样板，规范解题过程！)

a.0

b.coa

【分析】欲求m的取值范围，只需找出关于m的不等式，

c.cub

据已知条件，易求解.

d.{(2,3)

4.(教材p:复习参考题一a组第3题的改编)设a={xx是

【解】由集合b知x2 2x 4=(x十1)2十3>0恒成立，x2 2x-8<0,解得b={x-4<21.

平行四边形，b={x|x是矩形)，则aub=

5.(教材p参考例题例1(4)题的改编)设集合a=(x1|x|<

(1)若m>0,则a={x1-m-1

ab,

4},b=(xx2-4x十3>0)，则集合{xx∈a且x足a∩b=

/tm-1>-4,

m-1<2.

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●去数学名言（二）■对笛卡儿来说，代数学居于数学其它各分支的最前列，它是逻辑的引中，是处理量

的一门有用的学科，因而从这个意义上来说，它甚至比几何学还具有根本的意义，一m·克菜菌巴

■数学的本质在于其自由。乔治·康托

■没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中开除出去，一希尔特

■他以几乎神般的思维力，最先说明了行星的运动和图象、替星的轨道和大海的潮沙，一牛领墓志铭

3

三维设计高三·数学

第一章集合与简易逻辑

解得m<3,.0<3.

a.5

b.6

若m≤0，则a=⑦满足a三b

c.15

d.16

综上所述，m<3.

2.(2006年广东模拟)已知集合a={(x,y)1x十y=2},b=

(2)若m>0,则a={x一m一1

(x,y)|x-2y=-4},则a∩b等于

(

要使a∩b=0,只需m-1≤一4或一m-1≥2，解得m≤

a.{0,2

b.(0,2)

一3，这与m>0矛盾.

c.

d.{(0,2)

若m≤0，则a=0满足a∩b=☑

3.(2006年唐山模拟)设u={a,b,c,d,el,m={a,b,c,n

综上所述，m≤0。

{b,c,d),则cu(mun)等于

(

【评述】运用集合的思想方法解题的途径有构造集合

a.(a,b,c)

b.{e}

利用维恩图，利用子集交集、并集补集禁概念利用空集的意

c.(a,d,e)

8d.0

义，利用巢合语言的表述与转换，利用集合申元素的特征慕

4.(2005年高考北京卷)设全集u=r,集合m={xx>1,p

例d设p=(x,y)y=ax2 2bx c,a≠0}，q

(xx>1},则下列关系中正确的是

()

{(x,y)ly=dx2 2ex f,d≠0}，r={(x,y)ly=0},且a,b,c,

a.m=p

b.psm

d,e,f,x均为实数，又2be=ac十df,求证：(puq)nr≠0.

c.msp

d.cumnp=

(授之以渔，开启思维之门！)

5.(2006年江西模拟)集合a=(x1x2 4z十p<0},集合b

【分析】对于这类用集合语言叙述的数学问题，关健是准

{xx2 x一2≤0}，若a二b,则有

确转译成数学式子或文字叙述，揭示其实质，

a≥4

b.p<0

c.3≤p<4

d.p≥3

二，填空题

6.集合(3，x,x2一2x}中，x应满足的条件是

7.同时满足{1)云a二(1,2,3,4,5}的集合a的个数是一个

8.(2004年高考上海卷)设集合a={5,log(a 3)},集合b={a,b},若a∩b={2},则aub=

三，解答题

9.(2005年日照模拟)已知集合a=(x1og号(3一x)≥一2}，集合b={:2。>1,者anb=,求实数a的取值范围。

何磨大器馬

回纸色感

1.加强集合中元素特征的理解，互异性常常容易被忽略，在解决问题时要特别注意

两命提四静即真批因

2.在深刻理解集合的交、并、补概念的基础上，用维恩图解有关集合问题，可一目了然.

3.两个集合都是不等式的解集时，求它们的交、并、补，通常用数轴直观显示，但要注意区间的开闭.

合围命单道妆的食的商格旅弹密

4。若集合中元素是用坐标形式表示的，要想到满足条件的点所构成的图形是什么，画出草图，利用几何知识解答，

10.(2005年北京春招)记函数f(x)=1g(2x一3)的定义域为集

5,注意空集在解题中的作用，防止因漏掉空集而导致解题失误

合m,函数)√一写的定义装为集合n求

6.若集合中含有参数，须对参数进行讨论

(1)集合m,n:册

7.在运算中，要注意运用集合的运算性质

coaucob=cu(anb)或can cob=cu(aub)以及空集的特征.

,识02日9(8

能碧升训然

一，选择题

1.(2006年承德模拟)设集合a={x∈z一10≤x≤1，b=《x∈z|x≤5)，则a∩b中元素的个数是gu(o)

●3●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

无穷大古希腊哲学家亚里士多德认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的，但是

无限是不能达到的，

12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉，他的概念比较接近理论化的概念，年将8水平置放成“∞”来表示“无穷大”符号是在英国人沃利斯的论文《算术的无穷大》(1655年出版)一

书中首次使用的

创新方案科学备考2系

三维设计·成就梦想

(2)集合mnn,mun.

1∈a,

12.若数集a满足：若a∈a,a≠1，则-

求证：(1)若2∈a,则a中另外有两个元素：

11.已知：集合a={2,4,a3-2a2-a 7},b={-4,a十3，a-2a十2，a3 a2 3a 7,若anb={2,5},求实数a的值，

并求aub.合，j第会好

(2)集合a不可能是单元素集合.=米当个日(

m

个县装个人合的

§1.2

简易逻辑

6,四种命题之间的关系

考点内奇精禁

原命题

互逆

逆命题

若p则g

若g则p

为逆

1,命题

逆

可以判断真假的语句叫做命题。

逆否命题

2,逻辑联结词

否命题

若中则q

互逆

若g则p

“或”、“且”、“非”。3,简单命题和复合命题

不含逻辑联结词的命题叫简单命题，含有逻辑联结词的命

(1)原命题台逆否命题：逆命题一否命题.

题叫复合命题.

即：原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假.

4.复合命题真值表

(2)“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念.命题p

力真真假假p真真假假

的否定即一p只是否定结论，条件并不变，而“否命题”既否定条

真假

9真假真假

q真假真假

件又否定结论

p且g真假假假p或q真真真假非p假真

7.反证法

(1)用反证法证题的一般步骤：

(1)p或q:有真则真：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立：

(2)p且q:有假则假：

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾：

(3)p与一p:真假相反

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

5,四种命题

(2)适合用反证法证明的命题：

(1)原命题：若p则q:

①否定性命题，

(2)逆命题：若g则p:

②唯一性命题；

(3)否命题：若p则q:

③至多、至少型命题：

(4)逆否命题：若9则一p,

④明显成立的命题，

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●之●●鱼

无穷与极限在圈外面作外切正多边形，又在正多边形外面作外接圈，再作外切正多边形，再作外接干飞

圈，如此反复。正多边形的边数连续增加，你会觉得这种圆的半径会无很增大，但事实上半径的增大接近于

-个极限，极限值大约等于初始圆半径的12倍.

三维设计高三·数学

第一章集合与简易逻辑

⑤直接证明有困难的命题8:充要条件

①若→q,则称p是q的充分条件，g是p的必要条件。

经典刚题制析

点石成全，举一及三

②若p→g且g→p,则称p是q的充要条件：

9.设满足条件p的元素构成集合a,满足条件q的元素构

例d分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且

成集合b,则，1

q”、“非p”形式的复合命题的真假.

①若a二b,则p是q的充分条件.

(1)p:3>3,q:3=3.

②若a=b,则p是q的充要条件

(2)p:0={0},q:0∈d.

③若ab,则p是q的充分不必要条件

(3)p:aca,q:a∩a=a.

④若a生b,b吨a,则p是q的既不充分也不必要条件，

(4)p:函数y=x2十3x 4的图象与x轴有公共点，9：方程x2 3x一4=0没有实根.

敖村回顾检测

(授之以渔，开启恩维之门！)

依托教材，深化教材

【分析】先判断p和q的真假，然后再依真值表判断。

1.(教材pa第11题的改编)命题“若a≠0且b≠0，则ab≠0”的否命题的逆命题是

(9)

a.若a=0且b-0,则ab=0

中1(8)1，()1

b.若a=0或b=0,则ab=0

、卖的位无，=是

c.若ab=0,则a=0且b=0

d.若ab=0,则a=0或b=0

2.(教材pz练习第2题的改编)已知命题p:无穷数列{an}的前n项和为s.,若(a,)是等差数列，则点列{n,s}在一条抛物线上：命题9：若实数m>1,则mx2 (2m一2)x-1>0的解集为（一∞，十∞）.对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r,下列判断正确的是

例2已知命题“若两个实数的积不为0，则这两个数

a.s是假命题，r是真命题

全不为0”，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

bs是真命题，是假命题

:0

(授之以通，开启恩维之门！)

c.s是假命题，r是假命题

d.s是真命题，r是真命题

【分析】将原命题的条件、结论对调或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，再利用等价关系求解

3.(教材p练习第2题的改编“na-之”是“a=30”的

条件

4.(教材p练习第2题的改编)给出命题：p:3≥3；q:函数f(x)=1,x≥0在r上是连续函数，则在下列三个复合命

-1,x<0

题：“p且g”、“p或g”、“非p”中，真命题的个数为5,(教材pa复习参考题一b组第6题的改编)求关于x的方程x2 mx十1一0有两个负实根的充要条件，不

例3○已知函数f(x)是（一∞，十∞）上的增函数，a,b∈r,对命题“若a ≥0，则f(a) fb)≥f(ta) f(b)”.

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论：中学城，

:命个四民不，合个这，好

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论(解题样板，规范解题过程！)时出

【分析】根据四种命题之间的关系写逆命题、逆否命题并

中6

【解】(1)递命题为：若f(a) f(b)≥f(一a) f(一b),则a十b≥0.这是真命题，证明（用反证法）如下：假设a十b≥0不成立，则a十b<0,则a

.f(a)

d●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

能行○公鸡归纳法1962年华罗庆先生在首都刷场给中学生讲了以下的一个故事：一只公鸡被人买了

家，第一天，主人喂了公鸡一把米：第二天，主人又喂了公鸡一把米：第三天，主人又喂了公鸡一把米.连峡十天，主人每天都给公鸡喂一把米，公鸡有了十天的经验，它就得出结论说：主人一定每天都给它喂一把米，但是就在它得出这个结论不久，主人家里来了一位客人，公鸡就被宰了来做莱

6创新方案科学备考2系

三维设计·成就梦想

∴f(a) f(b)

②等价法，即利用a→b与b→na:b→a与7a→b;

与条件f(a) f(b)≥f(-a) f(-b)矛盾

a一b与一b白一a的等价关系，对于条件或结论是不等关系

∴假设错误，∴逆命题为真命题

(否定式)的命题，一般运用等价法，

(2)逆否命题是：

③利用集合间的包含关系判断，若a二b,则a是b的充分

若f(a) f(b)<0.

条件或b是a的必要条件：若a=b,则a是b的充要条件，

这是真命题，可证原命题。

(3)确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例

,a十b≥0，∴.a≥-b,b≥-a

的方法来说明

由f(x)在r上为增函数，f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a.

..f(a) f(b)>f(-a) f(-b).

知能提升训练花同步鸡花，步步为)

∴，递否命题为真命题.

【评述】()证明香定性余题时，可煮虚证其逆香命题：

,选择题

(2)用反证法证明毗要法意其步骤：①假设结论的反面成

1.(2006年杭州模拟)下列判断错误的是

立：②从这个假设出发，推理论证，得出矛质：③由矛盾香定假

a.命题“若g则p”与命题“若1p则ㄣg”互为逆否命题

设，肯定结论正确

b.“am2

例d设函数f(x)=2x2 mx n,求证：f(1)1、

c.“矩形的两条对角线相等”的否定为假

d.命题0云{1,2}或4任{1,2}为真（其中☑为空集）

1f(2)1、1f(3)川中至少有一个不小于1.

2.(2006年湖北模拟)已知p是真命题，9是假命题，则下列复

(授之以通，开启思维之门！)

合命题中的真命题是

【分析】由于欲证结论的情况繁杂，因而不坊从其反面入

a.p且g

b.7p且79

，06落d

手，故用反证法，

c7p或q

d.7p或n9

3.(2005年丹阳模拟)条件p:1x一2≤1，条件9：<5x-6,则p是7g成立的

a.充分不必要条件

b.必要不充分条件

c.充要条件

d.既不充分也不必要条件

强个演，0长小的数分南洋腰

4.(2005年长春模拟)已知命题力：不等式x一1>m的解集是

流头铁代遇金断流药，速确的的摩出过

r,命题g:f()-2二严在区间(0， ∞)上是减函数若命题“p或g”为真，命题“p且g”为假，则实数m的取值范围是

(0)

a.(-og,0)

b.(0,2)位

c.[0,2)

d.(-o∞，2)

5.(2005年太原模拟)已知：命题p:0∈{1,2,3)，命题g:②

体大零因

(1,2,3},那么

回顾是感

a.“p且q”为真命题mb.“p或g”为真命题

c.“p”为假命题

d.“g”为真命题

1.本节内容为新教材新增内容，是学习中学数学和高等数

二、填空题

学的基础知识

6.(2006年北京宜武质量检测)已知命题p:方程x2-mz 1=

2。本节内容比较抽象，贵在理解，注意与集合等具体知识

0有两个不等的正实数根；命题q:方程4x2 4(m一2)x m

结合起来掌握。

=0无实数根.若“p或q”为真，“p且g”为假，则下列结论：①

3.注意对“或”“且”“非”的理解，它与生活中的“或”“且”

p、q都为真：②p、q都为假：③p、q一真一假：④p,q至少有

“非”不尽相同，如“或”有两种解释，一种“可兼有”一种“不可兼

个为真：⑤p,9至少有一个为假.

有”，数学中的“或”指前一种，而生活中的“或”一般指后一种.

其中正确结论的序号是，m的取值范围是

4.“(”表示联立的意思，它的含义是“且”，不能盲目使用。

7.(2004年高考湖北卷)设a、b为两个集合，下列四个命题：

5.反证法是一种重要的证题方法，它被誉为“数学家最精

①a寸b对任意x∈a,有x任b:

良的武器之一”，应熟练掌握其一般证题步骤，

②a车b台a∩b=⑦：

6.解决充要条件问题要紧扣定义，并灵活应用“→”帮助

③a生b台a史b:

思考

①a生b台存在x∈a,使得x庄b

(1)处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，

其中真命题的序号是

二，（把符合要求的命题序号都

然后才能进行推理和判断.

填上)

(2)判断命题的充要关系有三种方法：

8.集合m={xx>2),p={xx<3},那么“x∈m或x∈p"是

①定义法

“x∈pnm"的

条件。

●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

数学笑话（一）十一点半上午第四节课，a生肚子饿，无心听课，坐在位置上米采地想着牛肉，面

包.数学老师发现他走神，便提问他：“1.130小数向右移动一位，将会怎么样？”a生毫不犹豫地回答：“将会

开午饭！”

···试读结束···