《信息安全数学基础 第2版》张金全编著|(epub azw3 mobi pdf)电子书下载-云顶国际集团
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图书名称：《信息安全数学基础 第2版》
- 【作 者】张金全编著
- 【页 数】 149
- 【出版社】 西安电子科技大学出版社有限公司 , 2021.12
- 【isbn号】978-7-5606-6050-9
- 【价 格】23.00
- 【分 类】信息安全-应用数学-高等学校-教材
- 【参考文献】 张金全编著. 信息安全数学基础 第2版. 西安电子科技大学出版社有限公司, 2021.12.
图书封面：
图书目录：
《信息安全数学基础 第2版》内容提要：
《信息安全数学基础》系统地介绍了信息安全专业所需的数论和抽象代数的基础知识，给出了一些相关的应用实例。在书中，自然有着针对基本训练而设计的习题，更有相当数量的习题是正文的补充和延伸，它们的价值不言而喻……
《信息安全数学基础 第2版》内容试读
第1章整数的可除性
。1。
第1章整数的可除性
在中学我们已经学习过整除的部分知识，这里是对该部分知识的复习、加深和扩展，其中素数、最大公因数、带余除法和算术基本定理等知识在密码学中有广泛应用.
1.1整除
本节介绍整除以及素数的定义和基本性质.这些知识是初等数论的基础。
1.整除
【定义1.1.1】设a,b∈z(整数集合)，b≠0，如果存在g∈z,使得a=bg,则称b整除a或a可被b整除，记作ba,并称a是b的倍数，b是a的因数（或约数、因子）；否则，称b不能整除a或a不能被b整除，记作b{a.说明：
①根据整除的定义，对于a,b∈z,b≠0，只有b|a和b{a两种可能.
②可以把ba读作b整除a,b{a读作b不整除a.
③ba十c这种表达式，亦即b|(a十c),表示b整除后面表达式运算的结果
④b|a c=d这种表达式，亦即a十c=d,b|(a十c),b|d.
⑤对于a,b∈z,a≠0，b≠0，若b|a,则|a1≥|b|.
对于整除，应注意下述特殊情况：
①0是任何非零整数的倍数.也就是说，对于任何b∈z,b≠0，有b|0.
②士1是任何整数的因数.也就是说，对于任何a∈z,有1|a,一1|a.
③任何非零整数是其自身的倍数，也是其自身的因数.也就是说，对于任何b∈z,b≠0，有bb.
下面列出整除的一些基本性质.有的性质比较直观，因此没有给出证明
①设b∈z,b≠0，则b|b.
·2
信息安全数学基础（第二版）》
性质①称为自反性.平时用到的等号(=)也具有自反性，如x=x
②设a,b,c∈z,若c|b且b|a,则c|a.
证明因为c|b且ba,故存在q1和q2,使得b=cq1且a=bq2,从而有a=cq1q2,故ca.
【例1.1.1】因为3|6,6|12，所以3|12.
性质②称为传递性，即整除的性质可以传递.等号(=)、直线平行、三角形相似均具有传递性，
③设a,b∈z,若b|a,则b-a,-b|-a.
④设a,b,c∈z,若c|b且c|a,则c|a士b
证明已知c|b且ca,则存在整数n和m,使得b=nc且a=mc,从而有
a士b=mc士nc=(m士n)c
又因为m士n为整数，故c|a土b
⑤设a,b∈z,p为素数，若pab,则p|a或p|b.
⑥设a,b,c∈z,若c|b且ca,则对任意整数s、t,有c|sa士tb.证明已知c|b且c|a,则存在整数n和m,使得b=nc且a=mc.于是从sa士tb=msc士ntc=(ms士nt)c即可看出c|sa士tb.
性质⑥在后面被多次使用.该性质也可描述为：设a,b,c∈z,若c|b且c|a,则c整除a和b的线性组合.
【例1.1.2】已知7|21,7|98，则对任意整数s、t,有721s十98t.
2.素数
在密码学中，素数是用得非常广泛的概念，例如公钥密码算法、数字签名算法以及一些密码协议中都有使用.在对称密码算法高级加密标准(advanced
encryption standard,aes)中使用的不可约多项式，也可以看作是素数在一元多项式环上的推广
【定义1.1.2】设p是大于1的整数，如果除了因子1和它本身外没有其他的因子，则称p为素数（或质数，取自英文单词prime的首字母）.若m是大于1的整数，且m不是素数，则称m为合数.
第1章整数的可除性
·3·
素数具有以下一些基本性质：
①1既不是素数也不是合数.
②若p为素数，n为正整数，当2≤p≤√n且p十n时，n是素数.性质②可用来较快地判断一个小的整数是否是素数.
【例1.1.3】判断37是不是素数.
解n为37，因为6≤√37，小于等于6的素数力有2、3、5，用p去除37,发现2137,3137,537，故37为素数
修
【例1.1.4】判断137是不是素数.
机票正西县
解n=137,因为11≤√137，小于等于11的素数p有2、3、5、7、11，用p去除137，发现2137,3137,5137,7137,11137，故137为素数.
③素数有无穷多.
证明用反证法.假设只有有限个素数，它们是q1,…,qk.人考虑m=q1…q十1，因为素数个数有限且为q1,…,q。,所以m必是合数，从而知必存在素数q:,使得q:|m.由于m=q1…q。十1，故整除是不可能的，矛盾.因此，假设是错误的，即素数必有无穷多个.
【定理1.1.1】（素数个数定理）令π(x)表示不超过x(x>0)的素数的个数，则随着x的增大，π(x)和x/1nx的比值趋于l,即
limπ(x)=1
x/inz
其中，lnx是x的自然对数.
通过表1.1.1所示的对素数个数的统计，读者可以对素数的数量有个直观的了解.
表1.1.1素数数量统计表
x
π(x)
x/lnx整数部分
π(x)/(x/1nx)
1000
168
145
1.16
100000
9592
8686
1.10
10000000
664579
620241
1.07
1000000000
50847478
48254942
1.05
素数的性质当然不止这些，比如孪生素数猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想
。4。
信息安全数学基础（第二版）
等，感兴趣的读者可参阅相关书籍，这里只介绍了一些很基本的性质，
【人物传记】克里斯汀·哥德巴赫(christian goldbach,1690一1764)生于普鲁士哥尼斯堡（这个城市因七桥问题而在数学界很有名）.1725年成为圣彼得堡皇家学院的数学教授.1728年到莫斯科成为沙皇彼得二世的老师.1742年任职于俄国外交部.除了“每个大于2的偶数都能写为两个素数的和以及每个大于5的奇数能写为3个素数的和”的猜想外，在数学分析方面也做出了令人瞩目的贡献」
【人物传记】中国数学家陈景润(1933一1996)取得了关于孪生素数和哥德巴赫猜想的重要结果.l966年发表on the representation of a large even integer asthe sum of a prime and the product of at most two primes(《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，简称“1十2”)，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑.他所发表的成果也被称为陈氏定理，
【人物传记】美籍华裔数学家张益唐(1955一)于1978年进入北京大学数学科学学院攻读本科，1982年读硕士，师从潘承彪，1985年入读普渡大学，导师为莫宗坚.2013年由于在研究孪生素数猜想上取得了重大突破，于第六届世界华人数学家大会中荣获晨兴数学卓越成就奖，后来他还获得了ostrowski奖和rolf schock奖.2014年，美国数学学会更将崇高的柯尔数论奖授予张益唐.同年7月4日，张益唐当选为中央研究院第30届数理科学组院士，同年9月，张益唐获得了该年度的麦克阿瑟奖（俗称“天才”奖）.
1.2最大公因数
最大公因数是中学里面的知识.在密码学中用得较多的是互素，这是最大公因数为1的情形.在本门课程中，常用来求两个数的最大公因数的方法是欧几里德算法，也称辗转相除法，
1.2.1带余除法
带余除法是关于整除性的一个重要结论：
【定理1.2.1】（带余除法）设a、b是两个给定的整数，b>0,则一定存在唯一的一对整数q与r,满足
a=qb十r,0≤r
证明先证存在性，考虑一个整数序列
第1章整数的可除性
…,-3b,-2b,一b,0,b,2b,3b,…
它们将实数轴分成长度为b的区间，而α必定落在其中的一个区间中，因此存在一个整数q使得qb≤a<(g 1)b.
令r=a一qb,则有a=gb十r,0≤r
再证唯一性.如果分别有q与r和q1与r1满足
a=qb十r,0≤r
a=q1b十r1,0≤r1
两式相减有b(q一q1)=一(r一r1),故br一r1.
由于0≤r
【定义1.2.1】在a=qb十r,0≤r
【推论】b|a的充要条件是a被b除所得的余数r=0.
【定理1.2.2】设a、b是两个给定的整数，b≠0，则对任意整数c,一定存在唯一的一对整数q与r,满足
a=qb r,c≤r<|b|十c
这是带余除法的一般形式.
该定理的证明和定理1.2.1的相似.定理1.2.1就是定理1.2.2指定b>0,c=0时的一种特殊情形
【例1.2.1】设a=100,b=30,由定理1.2.2知：若c=10,则10≤r<40,即100=3×30 10；若c=35,则35≤r<65,即100=2×30 40；
若c=-50,则-50≤r<-20,即100=5×30 (-50).
可以看出，无论如何指定c的值，r和被除数在除以除数时，余数相同.比如100=2×30十40这个式子中，100和40除以30后的余数是相同的，
1.2.2最大公因数
【定义1.2.2】设a和b是两个整数，若整数d是它们中每一个数的因数，则d称为a和b的公因数（或公约数）.a和b的公因数中最大的一个称为最大公因数，记为(a,b).也有的书中将其记作gcd(a,b),即greatest commondivisor三个英文单词的首字母.若(a,b)=1,则称a和b互素或互质，
。6
信息安全数学基础（第二版）
进一步地，若整数a1,a2,…,an不全为零，那么a1,a2,…,an的公因数中最大的一个称为最大公因数，记作(a1,a2,,an.当(a1,a2,…,an)=1时，称a1,a2,…,am互素或互质.注意，这与a1,a2,…,an两两互素不同，a1,a2,…,am两两互素要求(a:,a,)=l,i≠j
【例1.2.2】求最大公因数(168,90).
解这里采用短除法求解.我们知道，一个整数要么是素数，要么有不超过√n的素因数.要求a和b的最大公因数，可以依次用2,3,5，…去试除a和b,若都能整除，则找到公因数p1,然后依次用2,3,5，…去试除a/p1和b/p1·重复这个过程，就可以找到a和b的所有公因数.所有公因数的乘积即为a和b的最大公因数.
因为
216890
38445
2815
故168和90的最大公因数为(168,90)=2×3=6.
下面列出最大公因数的一些基本性质.在掌握短除法的基础上，这些性质直观易懂，故证明从略
①设a、b为正整数，则(a,b)=(b,a).
②设a、b为正整数，若ba,则(a,b)=b.
③设a1,a2,…,am是n个不全为零的整数，则
(i)a1,a2,…,am与a1,a2,…,am|的公因数相同；(i)(a1,a2,…,an)=(a1,a2l,…,an|).
④设a、b为正整数，则
(a,b)=(a,-b)=(-a,b)=(-a,-b)
⑤设b为整数，b≠0，则(0，b)=|b1
因为0是任何非0整数的倍数，从而|b|0,所以(0，b)=b1.
⑥设m>0,则m(a1,a2)=(ma1,ma2).
从前面给出的短除法的求解过程，可以直观地理解该性质，
⑦设a1,a2,…,am为整数，且a1≠0，令(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,…,(dm-1,am)=dn,则(a1,a2,…,an)=dm
···试读结束···