《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》贺慧霞，孙玉泉，李娅|(epub azw3 mobi pdf)电子书下载-云顶国际集团
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图书名称：《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》
- 【作 者】贺慧霞，孙玉泉，李娅
- 【丛书名】高等学校通用教材
- 【页 数】 247
- 【出版社】 北京：北京航空航天大学出版社 , 2021.02
- 【isbn号】978-7-5124-3444-8
- 【价 格】49.00
- 【分 类】数学分析-高等学校-教学参考资料
- 【参考文献】 贺慧霞，孙玉泉，李娅. 工科数学分析 同步辅导及习题详解 下. 北京：北京航空航天大学出版社, 2021.02.
图书封面：
图书目录：
《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容提要：
本书主要介绍了数项级数、函数列与函数项级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数的数分重积分、曲线积分、曲面积分、含参变量积分的相关内容。
《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容试读
第11章数项级数
11.1数项级数的收敛性
11.1.1主要内容
定义1设x1,x2,…,.,…是一个数列，将“和式”
x1十x2十…十x。十…
称为一个无穷级数，记做∑x.,其中工。是级数的通项，对任意的正数”，称级数的前n个通
项的和
s。=x1十x2十…十xm
为级数的前n个项的部分和.
定义2若级数∑x。的部分和数列s。收敛到一个实数s,即有ims。=s,则称级数
∑x,收敛，并称s为级数∑x,的和，并记做∑x.=s.
n=1
定理1若∑a.收敛，则1ima,=0.
定理2设∑a,和∑b.收敛，则对任意的实数a,b,∑(aa.十b.)收敛.
=1
定理3若级数收敛，则添加或删除有限项，级数仍然收敛
定理4设∑4.收敛，把此级数的项任意组合，但不改变其先后的次序，得到的新级数
仍然收敛，且新级数和∑4。有相同的级数和。
定理5如果级数(a1十a2十…十ak,)十(a, 1十a, 2十…十a2）十…十(a, 1十
a。 2十…十an）十…，这里k1<…<…,括号里面的每一项符号一致，且收敛，则∑a.收敛，
11.1.2典型例题
例1,11求级数十 十…的和
解由于ms,=m1 十2十十…十)）-1=e-1,所以级数
2
工科数学分析（下册）同步辅导及习题详解
了1收敛，且其和为e-1
台n!
例11.1.2设0<1,求级数∑x2
1一之和
…十
1
1-x1一x2寸
所以)
注记：连锁消去法在级数的计算或者证明中是比较有效的一种方法，
思考题：计算级数∑arctan
2
一之和
=2
4n2-4n
1
1
提示：利用arctan2n2=arctan2n-1-arctan2n 1
例11.1.3判定级数的敛散性∑enl
n=1
n”
解记um=e"n!
n”,则limu =lim
=1,比值判别法无效
但是， 1
e
>1→{u.}单调递增，因为u1=e,所以lim4m≠0，因此原级数
发散
例11.1.4研究级数∑sin nx的收敛性.
解(1)若x=kπ，其中k为整数，则sin n=0,所以级数∑sin n收敛.
n=】
(2)若x≠kπ，其中k为整数，则当n趋于无穷时，sin nx不趋近于0，否则假设lim(sin nx)=0,则lim[sin(n l)x]=0,但是
sin(n 1)x sin nxcos x cos nasin x-
0，
从而lim(cos nxsin x)=0,但是sinx≠0(x≠kπ)，故一定有
lim cos nx =0.
并幸国
由于1=sin'nx十cos2nx,令n→oo,两端取极限，得1=0，矛盾，所以假设错误，即lim(sin nx)≠0，
第11章数项级数
3
所以级数∑sin nr发散
例11.1.5计算级数∑"cos nx的和，其中|g<1.
解记s.-2gc0sk虹，两边同乘以2qc0sx,得
2gc0sx·s.=}coscoc)co(1).
即2gc0sx·s.=g" 1cos(n 1)x s。-qcos十(g2 qs。一g" 2 cos ni),解此方程可得
s.gcos nr-g"cos(n 1)z gcosg gcos rg
1 g2-2qcos x
1 g2-2qcos x
即∑g cos nx=
qcos x -q
=1
1 g2-2gcos x
11.1.3习题讲解
1.求下列级数的和：
四为-(》（护 》-1》
解
,所以
1-(←2)1
lim s =
1
(2)
(其中m为一给定正整数).
1
n(n十m)
解
lims。=lim∑1
- 号 ）
(3)
1
解lim s.lim
2m2(中)小-
w
1
(2n-1)(2n 1)
1
解
1
2(2k 1)21
(5)∑8n-2)（8m 1d
解
工科数学分析（下册）同步辅导及习题详解
(6)∑2m-1
2"
解lim s.lim
k=1
所以1ims.=3.
(7)
2n 1
n2(n 1)2
解注意到
s.=
所以lim s=1.
(8)∑(m 2-2m 1 n).
解注意到
.=2wa -2m t
=2[(wn 2-m i)-(wn -n)]=√m 2-√m 1-√2 1，
所以imsm=1一√2
(9)2in d(2n-d'
n(2n 1)
解注意到
s.=>[ln n-in(n 1) in(2n 1)-in(2n-1)]
m 1
所以lim s=ln2.
2.证明下列级数发散：
(1)万1
1
证明因为lim
=1≠0，所以级数发散.
(2)∑(-1)n 1
证明因为1im(-1)””,
n 1=1≠0，所以级数发散
第11章数项级数
5
80-)”
证明因为m1-)”=0,所以级数发散4)∑”-lnn
证明因为im”一ln”=1≠0，所以级数发散。
n √m
3.设级数∑工，收敛，∑y,发散，证明：级数∑(x,十y)发散.
证明设级数∑x.部分和为s.,因为∑x.收敛，设ims.=a,假设新数列∑之，收
敛，其中之。=xm十ym,其部分和序列为s2m,设ims2m=b,则级数
2.=2-x)=2-2=b-,
所以级数∑y,收敛，与已知矛盾，因此级数∑，发散。
4.设级数∑x。收敛，证明：级数∑(x。十x1)也收敛，并举例说明逆命题不成立
证明因为∑x收敛设5=习则公. 1)=2s-1所以级数.十x 1)收敛，
反之，不成立，例如：x。=(一1)”.
5.设数列{nxn}与级数∑n(x。一x 1）都收敛，证明：级数∑x。收敛.
证明
2n-)=2[,-a 1
=∑nx.-(n 1)x] ∑x
=1
=x1-lim(n 1)x ∑x.,
.-lim( d nr..).
因为级数∑n(x。一x1)和数列(xn》都收敛，所以级数∑x.收敛。
6.已知级数∑xn收敛，证明：imx1 2x2 …十nxn=0.
证明记s。=∑x4,则
lims 2s,-s) … m(s.-s.)=imn5。-(s, s, … 5)
···试读结束···